Найдите три последовательных натуральных числа, такие, что удвоенное произведение крайних чисел на 119 больше квадрата среднего числа.

Обозначаем первое из искомых чисел через х. Прибавляя по 1, получим второе и третье числа:

(х + 1); (х + 2).

Запишем удвоенное произведение 1-го и 3-го чисел:

2 * х * (х + 2) = 2 * х² + 4 * x.

Найдем квадрат 2-го числа:

(х + 1) ² = x² + 2 * x + 1

Разность двух полученных выражений равна 119.

Составим уравнение:

2 * х² + 4 * x - (x² + 2 * x + 1) = 119;

2 * х² + 4 * x - x² - 2 * x - 1 - 119 = 0;

х² + 2 * x - 120 = 0;

D = 2² - 4 * (-120) = 484;

√D = 22;

x1 = ( - 2 - 22) / 2 = - 12;

х2 = ( - 2 + 22) / 2 = 10.

Первый полученный корень отрицательный. Мы его отбрасываем, так как числа должны быть натуральными.

Найдем второе и третье искомые числа:

х + 1 = 10 + 1 = 11;

х + 2 = 10 + 2 = 12.

Ответ: три числа, удовлетворяющие условию задачи, это 10; 11; 12.