Разложить на множители многочлен: x^3-x^2-x-2

Решение:

Методом подбора определяем, что х = 2 - корень многочлена x³ - x² - x - 2. Преобразовываем следующим образом:

(x³ - 8) + 8 - x² - x - 2.

По формуле разности кубов а3 - b3 = (a - b) (а²+ab + b² ) раскладываем первую скобку и преобразовываем вторую часть выражения до квадрата разности:

(x - 2) (x² + 2 х + 4) + 8 - x² - x - 2 = (x - 2) (x² + 2 х + 4) - x² - 4 х + 4 х + 4 - 4 - x - 2 + 8.

Объединяем и упрощаем:

(x - 2) (x² + 2 х + 4) - (x² - 4 х + 4) - 4 х + 4 - x - 2 + 8 = (x - 2) (x² + 2 х + 4) - (x - 2) ² - 5 х + 10 = (x - 2) (x² + 2 х + 4) - (x - 2) ² - 5 (х - 2).

Выносим общий множитель (х - 2) за скобку:

(x - 2) (x² + 2 х + 4) - (x - 2) ² - 5 (х - 2) = (х - 2) (x² + 2 х + 4 - (х - 2) - 5) = (х - 2) (x² + 2 х + 4 - х + 2 - 5) = (х - 2) (x² + х + 1).

Ответ: x³ - x² - x - 2 = (х - 2) (x² + х + 1).