3sin^x+4sinx*cosx+cos^x=0

1. Выделим квадрат двучлена:

3sin^2x + 4sinx * cosx + cos^2x = 0; 4sin^2x + 4sinx * cosx + cos^2x - sin^2x = 0; (2sinx + cosx) ^2 - sin^2x = 0.

2. Разложим разность квадратов на множители:

(2sinx + cosx + sinx) (2sinx + cosx - sinx) = 0; (3sinx + cosx) (sinx + cosx) = 0.

3. Приравняем каждый из множителей к нулю:

[3sinx + cosx = 0;

[sinx + cosx = 0; [3sinx = - cosx;

[sinx = - cosx; [tgx = - 1/3;

[tgx = - 1; [x = - arctg (1/3) + πk, k ∈ Z;

[x = - π/4 + πk, k ∈ Z.

Ответ: - arctg (1/3) + πk; - π/4 + πk, k ∈ Z.