Найдите значение выражения корень из a^2-4a+4+корень из a^2-10a+25 при a∈{3; 4}

Формулы для решения задания

Решение квадратного уравнения через нахождение дискриминанта:

D = b² - 4ac, где D - дискриминант, a коэффициент перед х², b - коэффициент перед х, c - свободный член квадратного уравнения y = ax² + bx + c.

Разложение квадратного уравнения на множители:

Найти корни уравнения через дискриминант и подставить их в формулу а (х - х₁) (х - х₂), где а - коэффициент перед х², а х₁ и х₂ - корни уравнения.

Разложим на множители оба трехчлена

1. a² - 4a + 4

D = 4² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0 (уравнение имеет один корень)

если D = 0, то корень уравнения находится по формуле х = - b/2a.

х_1,2 = 4/2 = 2

Получается, что выражение a² - 4a + 4 = (а - 2) ²

2. a² - 10a + 25

D = 10² - 4 * 1 * 25 = 100 - 100 = 0

х_1,2 = 10/2 = 5

Значит, a² - 10a + 25 = (а - 5) ²

3. Под знаком корня находится скобка в квадрате,

то есть квадратный корень из (а - 2) ² = |а - 2|, а квадратный корень из (а - 5) ² = |а - 5|.

Под знаком модуля может находиться как положительное, так и отрицательное число.

Не забываем, что число а принадлежит промежутку [3; 4].

Проверим знак модуля, походит ли число а промежутку [3; 4].

а - 2 > 0, a > 2 (подходит)

а - 2 < 0, a < 2 (не подходит)

а - 5 > 0, a > 5 (не подходит)

a - 5 < 0, a < 5 (подходит).

То есть в модуле |а - 2| находится положительное число, а под модулем |а - 5| отрицательное. Раскрываем знаки модуля, меняя знак перед отрицательным знаком модуля.

|а - 2| + |а - 5| = а - 2 - (а - 5) = а - 2 - а + 5 = 3.

Ответ: Значение выражения равно 3.