Решите уравнения 1/х+4-1/х-4=1/х-2-1/х-5

1. Приведем к общему знаменателю левую и правую части уравнения, (х + 4) (х - 4) и (х - 2) (х - 5) соответственно:

1 / (х + 4) - 1 / (х - 4) = 1 / (х - 2) - 1 / (х - 5);

((х - 4) - (х + 4)) / (х + 4) (х - 4) = ((х - 5) - (х - 2)) / (х - 2) (х - 5);

(х - 4 - х - 4) / (х + 4) (х - 4) = (х - 5 - х + 2) / (х - 2) (х - 5);

- 8 / (х + 4) (х - 4) = - 3 / (х - 2) (х - 5);

2. Перенесем все значения влево и приведем к общему знаменателю (х - 2) (х - 5) (х + 4) (х - 4):

- 8 / (х + 4) (х - 4) + 3 / (х - 2) (х - 5) = 0;

( - 8 (х - 2) (х - 5) + 3 (х + 4) (х - 4)) / (х - 2) (х - 5) (х + 4) (х - 4) = 0;

3. Найдем ОДЗ:

(х - 2) (х - 5) (х + 4) (х - 4) ≠ 0;

х - 2 ≠ 0;

х ≠ 2;

х - 5 ≠ 0;

х ≠ 5;

х + 4 ≠ 0;

х ≠ - 4;

х - 4 ≠ 0;

х ≠ 4;

4. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю:

- 8 (х - 2) (х - 5) + 3 (х + 4) (х - 4) = 0;

- 8 (x² - 5x - 2x + 10) + 3 (x² - 16) = 0;

- 8x² + 40x + 16x - 80 + 3x² - 48 = 0;

-5x² + 56x - 128 = 0;

5x² - 56x + 128 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 56) ² - 4 * 5 * 128 = 3136 - 2560 = 576;

D › 0, значит:

x1 = ( - b - √D) / 2a = (56 - √576) / 2 * 5 = (56 - 24) / 10 = 32 / 10 = 3,2;

x2 = ( - b + √D) / 2a = (56 + √576) / 2 * 5 = (56 + 24) / 10 = 80 / 10 = 8;

Ответ: х1 = 3,2, х2 = 8.