В арифметической прогрессии 16-ый член равен - 43, 38-й членравен 1, а сумма первых n членов прогрессии равно нулю. Найдите n.

Выразим а₁₆ и а₃₈, используя формулу члена арифметической прогрессии а_n = а₁ + (n - 1) d.

а₁₆ = а₁ + 15d;

а₃₈ = а₁ + 37d.

Подставим в них данные.

- 43 = а₁ + 15d;

1 = а₁ + 37d.

Выразим а₁ во втором уравнении.

а₁ = 1 - 37d.

Подставим а₁ в первое уравнение и найдём d.

- 43 = 1 - 37d + 15d;

- 44 = - 22d;

d = 2.

Найдём а₁ = 1 - 37d = 1 - 37 ∙ 2 = 1 - 74 = - 73.

Подставим известные данные в формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

S_n = (2 а₁ + (n - 1) d) ∙ n / 2;

0 = (2 ∙ ( - 73) + (n - 1) ∙ 2) ∙ n / 2;

0 ∙ ² / _n = - 146 + 2n - 2;

0 = - 148 + 2n;

2n = 148;

n = 74.

Ответ: n = 74.