по теме "Квадратные уравнения". Решить уравнения: а) 14 х2 - 9 х = 0; б) 16 х2 = 49; в) 2 х2 - 11 х + 12 = 0; г) х2 - 36 х + 324 = 0; д) 2 х2 + х + 16 = 0; е) (х^ (2) - 7 х) / 8-1=0. Решить биквадратное уравнение: х4 - 13 х2 + 36 = 0. Сократить дробь: (?6 х?^2-х-1) / (?9 х?^2-1). Один из корней уравнения х2 + kx + 45 = 0 равен 5. Найдите другой корень и коэффициент k.

Решим уравнение 14 х² - 9 х = 0

Разложим на множители левую часть уравнения:

14 х² - 9 х = х (14 х - 9).

х (14 х - 9) = 0.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

х = 0, 14 х - 9 = 0.

х₁ = 0;

х₂ = 9/14.

Ответ: 0; 9/14.

Решим уравнение 16 х² = 49

16 х² = 49,

х² = 49/16,

х₁ = 7/4,

х₂ = - 7/4.

Ответ: - 7/4; 7/4.

Решим уравнение 2 х² - 11 х + 12 = 0 Найдем дискриминант: D = 11² - 4 * 2 * 12 = 121 - 96 = 25. х₁ = (11 - 5) / 4 = 6 / 4 = 3/2 = 1,5; х₂ = (11 + 5) / 4 = 16 / 4 = 4.

Ответ: 1,5; 4.

Решим уравнение х² - 36 х + 324 = 0. Найдем дискриминант: D = 36² - 4 * 1 * 324 = 0. Уравнение имеет один корень х = - b / 2a; х = 36 / 2 = 18.

Ответ: 18.

Решим уравнение 2 х² + х + 16 = 0. Найдем дискриминант: D = 1² - 4 * 2 * 16 = 1 - 128 = - 127. D < 0; корней нет.

Ответ: корней нет.

Решим уравнение (х² - 7 х) / 8 - 1 = 0

Упростим выражение:

(х² - 7 х) / 8 - 1 = 0,

(х² - 7 х) / 8 = 1,

х² - 7 х = 8,

х² - 7 х - 8 = 0.

Найдем дискриминант: D = 7² + 4 * 1 * 8 = 49 + 32 = 81. х₁ = (7 - 9) / 2 = - 2 / 2 = - 1; х₂ = (7 + 9) / 2 = 16 / 2 = 8.

Ответ: - 1; 8.

Решим биквадратное уравнение: х⁴ - 13 х² + 36 = 0

Произведем замену переменных: у = х².

у² - 13 у + 36 = 0.

Найдем дискриминант: D = 13² - 4 * 1 * 36 = 169 - 144 = 25. у₁ = (13 - 5) / 2 = 8 / 2 = 4; у₂ = (13 + 5) / 2 = 18 / 2 = 9.

Вернемся к исходным переменным:

х² = 4,

х² = 9.

х₁ = - 2; х₂ = 2; х₃ = - 3; х₄ = 3.

Ответ: - 3; - 2; 2; 3.

Сократим дробь: (6 х² - х - 1) / (9 х² - 1)

Разложим числитель на множители.

Найдем корни уравнения 6 х² - х - 1 = 0.

Найдем дискриминант: D = 1² + 4 * 1 * 6 = 1 + 24 = 25. х₁ = (1 - 5) / 12 = - 1/3; х₂ = (1 + 5) / 12 = 1/2.

6 х² - х - 1 = 6 (х + 1/3) (х - ½) = 3 (х + 1/3) * 2 (х - 1/2) = (3 х + 1) (2 х - 1).

Разложим знаменатель на множители.

9 х² - 1 = (3 х - 1) (3 х + 1).

Получим дробь:

(6 х² - х - 1) / (9 х² - 1) = (3 х + 1) (2 х - 1) / (3 х - 1) (3 х + 1) = (2 х - 1) / (3 х - 1).

Ответ: (2 х - 1) / (3 х - 1).

Рассмотрим уравнение х² + kx + 45 = 0 Найдем дискриминант D = k² - 4 * 1 * 45 = k² - 180. х₁ = (-k - √ (k² - 180)) / 2. х₂ = (-k + √ (k² - 180)) / 2.

По условию один из корней равен 5.

х₁ = 5:

(-k - √ (k² - 180)) / 2 = 5.

Решим уравнение:

-k - √ (k² - 180) = 10,

√ (k² - 180) = - k - 10,

k² - 180 = (-k - 10) ²,

k² - 180 = k² + 20k + 100.

-280 = 20k,

k = - 14.

Подставим k = - 14 в значение х₂:

х = (14 + √ (196 - 180)) / 2 = 9.

Ответ: k = - 14, уравнение примет вид: x² - 14x + 45 = 0, корни уравнения: 5; 9.

Задание: Решить уравнения: а) 14 х^2 - 9 х = 0;

1. Вынесем x за скобки: x * (14x - 9) = 0.

2. x = 0 или 14x - 9 = 0

x = 9/14.

б) 16 х^2 = 49;

x^2 = 49 / 16

x = + - 7/4

в) 2 х^2 - 11 х + 12 = 0;

Ищем D = 121 - 4 * 2 * 12 = 25

Корни: x1 = (11 + 5) / 4 = 4

x2 = (11 - 5) / 4 = 1,5

г) х^2 - 36 х + 324 = 0;

D = 1296 - 4 * 1 * 324 = 0

x = 36 / 2 = 18

д) 2x^2 + х + 16 = 0

D = 1 - 4 * 2 * 16 = - 127. Отрицательное значение. Нет корней.

е) (х^ (2) - 7 х) / 8-1 = 0

Приведем к общему знаменателю: ((х^ (2) - 7 х - 8) / 8 = 0

х^2 - 7 х - 8 = 0

D = 49 - 4 * 1 * (-8) = 81

x1 = (7 + 9) / 2 = 8

x2 = (7 - 9) / 2 = - 1

Решить биквадратное уравнение: х^4 - 13 х^2 + 36 = 0.

Пусть y = x^2, тогда получаем уравнение: y^2 - 13y + 36 = 0

D = (-13) ^2 - 4 * 1 * 36 = 25

y1 = 4 и y2 = 9

x^2 = 4, отсюда x12 = + -2

x^2 = 9, отсюда x34 = + -3

Сократить дробь: (6 х^2 - х - 1) / (9 х^2 - 1).

Найдем корни и числителя и знаменателя по очереди:

6 х^2 - х - 1 = 0

D = 1 - 4 * 6 * (-1) = 25

x1 = (1+5) / 12 = 1/2

x2 = (1-5) / 12 = - 1/3

Значит (6 х^2 - х - 1) = (x + 1/2) (x-1/3)

9 х^2 - 1 = 0

9 х^2 = 1

х^2 = 1/9

x12 = + - 1/3

Значит (9 х^2 - 1) = (x-1/3) (x+1/3)

(6 х^2 - х - 1) / (9 х^2 - 1) = (x + 1/2) (x-1/3) / (x-1/3) (x+1/3).

Cокращаем на (x-1/3)

Ответ: (x + 1/2) / (x + 1/3)

Один из корней уравнения х^2 + kx + 45 = 0 равен 5. Найдите другой корень и коэффициент k.

Подставим в уравнение вместо x корень 5.

25 + 5k + 45 = 0

k = - 14

Подставим в уравнение, найдем D и корень: D = 16

x1 = 5 и x2 = 9