Решить неравенство (х^2-4 х) - 12) (х+√11) черта дроби 5-х <=0

(х^2 - 4 х - 12) (х + √11) / (5 - х) ≤ 0.

Разложим многочлен (х^2 - 4 х - 12) на множители (х - х₁) (х - х₂).

Найдем корни квадратного трехчлена через дискриминант.

a = 1; b = - 4; c = - 12;

D = b^2 - 4ac; D = (-4) ^2 - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64 (√D = 8);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (4 - 8) / 2 = - 4/2 = - 2.

х₂ = (4 + 8) / 2 = 12/2 = 6.

Значит, х^2 - 4 х - 12 = (х + 2) (х - 6).

Неравенство принимает вид (х + 2) (х - 6) (х + √11) / (5 - х) ≤ 0.

В знаменателе х имеет отрицательный коэффициент (-х). Вынесем минус за скобку и умножим неравенство на (-1), перевернув знак неравенства.

(х + 2) (х - 6) (х + √11) / - (х - 5) ≤ 0;

(х + 2) (х - 6) (х + √11) / (х - 5) ≥ 0.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни неравенства:

х + 2 = 0; х = - 2.

х - 6 = 0; х = 6.

х + √11 = 0; х = - √11 (~ - 3,5).

х - 5 = 0; х = 5 (не входит в промежуток).

Отмечаем на числовой прямой точки - √11, - 2, 5 и 6, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) - √11 (-) - 2 (+) 5 (-) 6 (+).

Так как знак неравенства ≥ 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (+).

Решением неравенства будут промежутки (-∞; - √11], [-2; 5) и [6; + ∞).