Sin^2 (П/2+альфа) - cos^2 (3 П/2-альфа) / tg^2 (3 П/2+альфа) - ctg^2 (П/2-альфа)

В задании дано тригонометрическое выражение, а словесного описания нет. Обычно, в таких заданиях, требуется упростить выражение, чем и будем заниматься в дальнейшем. Данное тригонометрическое выражение обозначим через Т = (sin² (π/2 + α) - cos² (3 * π/2 - α)) / (tg² (3 * π/2 + α) - ctg² (π/2 - α)). Предположим, что данное выражение имеет смысл. Сначала воспользуемся формулами приведения sin (π/2 + α) = cosα, cos (3 * π/2 - α) = - sinα, tg (3 * π/2 + α) = - ctgα и ctg (π/2 - α) = tgα. Имеем Т = (cos²α - (-sinα) ²) / ((-ctgα) ² - tg²α) = (cos²α - sin²α) / (ctg²α - tg²α). Используя формулы tgα = sinα / cosα и ctgα = cosα / sinα, а также формулу (a - b) * (a + b) = a² - b², преобразуем знаменатель дроби: ctg²α - tg²α = (cosα / sinα) ² - (sinα / cosα) ² = (cos²α * cos²α - sin²α * sin²α) / (sin²α * cos²α) = ((cos²α - sin²α) * (cos²α + sin²α)) / (sin²α * cos²α). Итак, Т = (cos²α - sin²α) / [ (cos²α - sin²α) * (cos²α + sin²α) / (sin²α * cos²α) ]. Используя предположение из п. 1, сократим дробь (а также учтём, что sin²α + cos²α = 1). Имеем Т = 1 / (1 / (sin²α * cos²α)) = sin²α * cos²α.

Ответ: sin²α * cos²α.