Решите тригонометрическое уравнение: 1+sin (2x) = cosx-sinx

1. Преобразуем уравнение:

1 + sin (2x) = cosx - sinx;

2 - (1 - sin (2x)) = cosx - sinx;

2 - (cos^2 (x) - 2sinx * cosx + sin^2 (x)) = cosx - sinx;

2 - (cosx - sinx) ^2 = cosx - sinx;

(cosx - sinx) ^2 + (cosx - sinx) - 2 = 0.

2. Обозначим:

z = cosx - sinx;

z^2 + z - 2 = 0;

z1 = - 2; z2 = 1.

3. Найдем значение x:

z = cosx - sinx = √2cos (x + π/4);

a) z = - 2;

√2cos (x + π/4) = - 2;

cos (x + π/4) = - √2, нет решений;

b) z = 1;

√2cos (x + π/4) = 1;

cos (x + π/4) = √2/2;

x + π/4 = ±π/4 + 2πk, k ∈ Z;

x = - π/4 ± π/4 + 2πk, k ∈ Z;

x = - π/2 + 2πk; 2πk, k ∈ Z.

Ответ: - π/2 + 2πk; 2πk, k ∈ Z.