Пусть натуральное число n не делится на 3. Доказать, что число n^2-1 делится на 3

Согласно условию задачи, натуральное число n не делится на 3.

Следовательно, число n при делении на 3 дает в остатке 1 или 2. Рассмотрим оба этих случая.

1) Если число n при делении на 3 дает в остатке 1, то число n можно представить в виде n = 3 * k + 1, где k - некоторое целое число.

Вычислим значение выражения n² - 1:

n² - 1 = (3 * k + 1) ² - 1 = 9 * k² + 6 * k + 1 - 1 = 9 * k² + 6 * k = 3 * (3 * k² + 2 * k).

Следовательно, число n² - 1 делится на 3.

1) Если число n при делении на 3 дает в остатке 2, то число n можно представить в виде n = 3 * k + 2, где k - некоторое целое число.

Вычислим значение выражения n² - 1:

n² - 1 = (3 * k + 2) ² - 1 = 9 * k² + 12 * k + 4 - 1 = 9 * k² + 12 * k + 3 = 3 * (3 * k² + 4 * k + 1).

Следовательно, число n² - 1 делится на 3.

Таким образом, если натуральное число n не делится на 3, то число n² - 1 делится на 3.