Уравнение |2-3x-x^2|=5a имеет три различных действительных корня. Каково значение а?

1. Приведем трехчлен под знаком модуля к стандартному виду, изменив при этом его знак:

|2 - 3x - x^2| = 5a;

|x^2 + 3x - 2| = 5a. (1)

2. Уравнение (1) может иметь решение при неотрицательных значениях параметра 'a':

a ≥ 0;

a ∈ [0; ∞).

3. При этом условии получим:

x^2 + 3x - 2 = ±5a;

x^2 + 3x - (2 ± 5a) = 0.

4. Вычислим дискриминант уравнения:

D = 3^2 + 4 * (2 ± 5a);

D = 17 ± 20a;

D1 = 17 - 20a;

x1/2 = (-3 ± √D1) / 2; (2)

D2 = 17 + 20a;

x3/4 = (-3 ± √D2) / 2. (3)

5. Из уравнений (2) и (3) следует, что при различных значениях D1 и D2 корни x1/2 и x3/4 тоже различны. Но поскольку a ≥ 0, то D1 ≤ D2, следовательно, уравнение будет иметь три корня, если меньший дискриминант равен нулю:

D1 = 0;

17 - 20a = 0;

20a = 17;

a = 17/20 = 0,85.

Ответ: 0,85.

|2 - 3x - x²| = 5a

Разложим уравнение на две функции

Данное уравнение состоит из двух функций у = |2 - 3x - x²| и у = 5 а.

Рассмотрим обе функции.

у = 5 а - это линейная функция (5 а это какое-то число), то есть прямая, она проходит параллельно оси х, пересекая ось у в точке, равной 5 а. у = |2 - 3x - x²| квадратичная функция, то есть парабола, ветви вниз (перед х² стоит минус), но не имеющая отрицательных значений у (модуль - это всегда положительное число). Значит, ветви параболы идут из вершины вниз и как только касаются оси х, идут резко вверх (как бы отражаясь от зеркала). Так как обе функции приравнены |2 - 3x - x²| = 5a, значит у них есть точки пересечения, имеющие одинаковые координаты х и у (то есть корни уравнения).

По условию, должно быть 3 корня, то есть три точки пересечения прямой у = 5 а и параболы у = |2 - 3x - x²|. А это возможно только в одном случае - когда прямая проходит через вершину параболы и пересекает обе ветви параболы.

Найдем координаты вершины параболы

Координата вершины параболы х₀ вычисляется по формуле х₀ = - в/2 а.

у = |2 - 3x - x²|

Поменяем местами одночлены для облегчения расчетов.

у = | - x² - 3x + 2|

х₀ = 3 / ( - 2) = - 1,5

Найдем у₀.

у₀ = | - ( - 1,5) ² - 3 * ( - 1,5) + 2| = | - 2,25 + 4,5 + 2| = 4,25

Вершина параболы лежит в точке ( - 1,5; 4,25).

прямая у = 5 а проходит в точке у = 4,25.

5 а = 4,25

а = 0,85

Ответ: Уравнение |2 - 3x - x²| = 5a имеет три корня при а = 0,85.