Доказать, что число ab-ba делится на 9, а число ab+ba - на 11

Дано число ab: а - это количество десятков, а b - количество единиц. То есть число ab можно записать так: ab = 10 а + b.

Аналогично расписываем число ba: 10b + a.

Выразим разность чисел ab и ba:

ab - ba = 10 а + b - (10b + а) = 10 а + b - 10b - а = 10 а - а - 10b + b = 9 а - 9b = 9 (a - b).

Так как число 9 (a - b) состоит из двух множителей 9 и (a - b), следовательно, оно делится на 9.

Выразим сумму чисел ab и ba:

ab + ba = 10 а + b + (10b + а) = 10 а + b + 10b + а = 10 а + а + 10b + b = 11 а + 11b = 11 (a + b).

Так как число 11 (a + b) состоит из двух множителей 11 и (a + b), следовательно, оно делится на 11.