Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 м. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

Объем конуса вычисляется по формуле: V = 1/3 * S_осн * h.

S_осн = пR².

Высота конуса, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник, выразим радиус основания через высоту: 20² = h² + R²; R² = 20² - h² = 400 - h².

Отсюда S_осн = п (400 - h²).

Выражаем объем конуса:

V = 1/3 * п (400 - h²) * h = (hп) / 3 (400 - h²) = (400hп) / 3 - (пh³) / 3.

Найдем точку максимума данной функции, для этого найдем сначала производную:

V' = (400 п) / 3 - пh² = п (400/3 - h²).

Найдем нули производной:

п (400/3 - h²) = 0.

h² = 400/3.

h = √ (400/3) = 20/√3 = 20√/3.

Так как на промежутке до числа 20√3/3 производная положительна, а после это числа - отрицательно, то точка h = 20√3/3 является точкой максимума.

Ответ: высота должна быть 20√3/3 (м).