Найдите наименьший и наибольшее значения функции y=x третьи степени-12x второй степени+145

Дифференцируемая функция достигает экстремума в точках, в которых ее производная обращается в ноль.

Найдем первую производную функции у=х^3-12*x^2+145.

y'=3*x^2-12*2*x=3*x^2-24x.

Приравняем ее к нулю: y'=0; 3*x^2-24x=0; x * (3x-24) = 0;

x1=0;

3x-24=0; 3x=24; x2=24/3=8.

Уравнение y' имеет корни в точках х=0 и х=8, следовательно, в этих точках функция у имеет экстремум.

Функция имеет максимум в точке, в которой ее вторая производная отрицательна, и минимум в точке, в которой вторая производная положительна. Найдем вторую производную: y''=6x-24.

Исследуем знак второй производной в точках экстремумов:

y'' (0) = 6*0-24=-24, значит в точке х=0 функция у имеет максимум.

y'' (8) = 6*8-24=32-24=8, значит в точке х=8 функция имеет минимум.