Найдите наименьшее значение функции f (x) = e^ (2x) - 11e^x+26 на отрезке [-1; 2]

1. Вычислим производную функции и найдем критические точки:

f (x) = e^ (2x) - 11e^x + 26; f' (x) = 2e^ (2x) - 11e^x = e^x (2e^x - 11); e^x (2e^x - 11) = 0; 2e^x - 11 = 0; 2e^x = 11; e^x = 11/2; x0 = ln (11/2) ≈ 1,7 ∈ [-1; 2].

2. Промежутки монотонности:

a) x ∈ (-∞; x0), f' (x) <0, функция убывает; b) x ∈ (x0; ∞), f' (x) > 0, функция возрастает.

В точке x = x0 функция переходит от убывания к возрастанию; x0 - точка минимума, в которой функция принимает наименьшее значение:

f (x) = e^ (2x) - 11e^x + 26; f (min) = f (x0) = e^ (2x) - 11e^x + 26 = (11/2) ^2 - 11 * 11/2 + 26 = 121/4 - 121/2 + 26 = - 121/4 + 104/4 = - 17/4.

Ответ: - 17/4.