Две стороны треугольника равны 20 см и 45 см, а биссектриса, проходящая между ними - 24 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса разбивает третью сторону треугольника.

1. В треугольнике ABC дано:

a = BC = 20 см; b = AC = 45 см; CD = l = 24 см - биссектриса; AD = ? BD = ?

2. Биссектриса треугольника делит сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам:

AD : AC = BD : BC = x, отсюда получим: AD = AC * x = bx; BD = BC * x = ax.

3. Применим теорему косинусов к треугольникам ACD и BCD:

{ (bx) ^2 = b^2 + l^2 - 2blcosφ;

{ (ax) ^2 = a^2 + l^2 - 2alcosφ; {b^2 + l^2 - (bx) ^2 = 2blcosφ;

{a^2 + l^2 - (ax) ^2 = 2alcosφ,

где φ = ∠ACD = ∠BCD.

(b^2 + l^2 - (bx) ^2) / (a^2 + l^2 - (ax) ^2) = b/a; a (b^2 + l^2 - (bx) ^2) = b (a^2 + l^2 - (ax) ^2); ab^2 + al^2 - ab^2x^2 = ba^2 + bl^2 - ba^2x^2; ab^2 - ba^2 + al^2 - bl^2 = ab^2x^2 - ba^2x^2; ab (b - a) - l^2 (b - a) = ab (b - a) x^2; ab - l^2 = abx^2; x^2 = 1 - l^2 / (ab); x = √ (1 - l^2 / (ab)); x = √ (1 - 24^2 / (20 * 45)) = √ (1 - 8^2 / (20 * 5)) = √ (1 - 64/100) = √ (36/100) = 6/10 = 0,6; AD = bx = 45 * 0,6 = 27 (см); BD = ax = 20 * 0,6 = 12 (см).

Ответ: 12 см и 27 см.