Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, периметр которого равен 4 см.

Пусть прямоугольник обладает сторонами длиной А и В.

2 * (А + В) = 4 см, тогда А + В = 2 см;

В = 2 - А см.

Площадь прямоугольника S = А * В = А * (2 - А) = 2 * А - А².

Чтобы найти экстремумы, возьмем производную:

S' = 2 - 2 А.

Приравняем полученную функцию 0:

2 * А - 2 = 0;

2 * А = 2;

А = 1;

В = 2 - А = 1;

Проверим, является ли полученный ответ максимальным, для этого возьмем вторую производную:

S" = - 2 < 0, значит получен максимум.

Таким образом при сторонах прямоугольника, равных 1 см (А = 1, В = 1) площадь будет максимальной.