Ребята сели за круглый стол и стали играть в игру: 1) каждый получил номер по порядку; 2) начиная с первого они рассчитались на "первый", "второй"; 3) каждый второй встал и вышел из игры; Который номер остался последним, если участников всего было 11?

Пронумеруем каждого из 11 игроков по порядку:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; Первый этап

Рассчитаем каждого игрока на "первый", "второй":

1 - первый; 2 - второй; 3 - первый; 4 - второй; 5 - первый; 6 - второй; 7 - первый; 8 - второй; 9 - первый; 10 - второй; 11 - первый;

Как мы видим, на каждого игрока с четным порядковым номером приходится "второй".

Итак, все вторые номера (2, 4, 6, 8, 10) выбывают из игры.

Второй этап

Осталось всего 6 игроков.

Перепишем номера игроков, продолжающих игру:

1; 3; 5; 7; 9; 11;

Также разобьем игроков на "первый", "второй":

1 - первый; 3 - второй; 5 - первый; 7 - второй; 9 - первый; 11 - второй;

Выбывают номера 3, 7, 11.

Третий этап

Перепишем номера оставшихся участников:

1; 5; 9;

Рассчитаем на "первый", "второй":

1 - первый; 5 - второй; 9 - первый;

Итак, выбывает игрок с номером 5.

Четвертый этап

Остались только 2 игрока с номерами 1 и 9.

Рассчитаем их также на "первый", "второй":

1 - первый; 9 - второй;

Итак, номер 9 выбывает из игры. Побеждает игрок с порядковым номером 1.

Ответ: 1.