При каких a и b многочлен p (x) = (a+b) x^5+abx^2+1 делится на x^2-3x+2

Question

Анастасия Быкова

Математика

12 декабря, 19:30

При каких a и b многочлен p (x) = (a+b) x^5+abx^2+1 делится на x^2-3x+2

+2

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Диана Павлова · Answer 1

1. Многочлен P (x) представим в виде произведения двух многочленов:

((a + b) x^3 + px^2 + qx + 1/2) (x^2 - 3x + 2) = (a + b) x^5 + abx^2 + 1; (a + b) x^5 + (-3 (a + b) + p) x^4 + (2 (a + b) - 3p + q) x^3 + (2p - 3q + 1/2) x^2 + (2q - 3/2) x + 1 = (a + b) x^5 + abx^2 + 1; (-3 (a + b) + p) x^4 + (2 (a + b) - 3p + q) x^3 + (2p - 3q + 1/2) x^2 + (2q - 3/2) x = abx^2; {-3 (a + b) + p = 0;

{2 (a + b) - 3p + q = 0;

{2p - 3q + 1/2 = ab;

{2q - 3/2 = 0; {a + b = p/3;

{2p/3 - 3p + 3/4 = 0;

{2p - 9/4 + 1/2 = ab;

{q = 3/4; {a + b = p/3;

{8p - 36p + 9 = 0;

{2p - 7/4 = ab;

{q = 3/4; {a + b = p/3;

{p = 9/28;

{2p - 7/4 = ab;

{q = 3/4; {p = 9/28;

{q = 3/4;

{a + b = 3/28;

{18/28 - 7/4 = ab; {p = 9/28;

{q = 3/4;

{a + b = 3/28;

{ab = - 31/28.

2. По теореме Виета a и b являются корнями уравнения:

t^2 - 3/28t - 31/28 = 0; D = (3/28) ^2 + 4 * 31/28 = 1/28^2 * (9 + 3472) = 1/28^2 * 3481; √D = 1/28 * 59 = 59/28; t = (3/28 ± 59/28) / 2 = 3/56 ± 59/56; t1 = 3/56 - 59/56 = - 56/56 = - 1; t2 = 3/56 + 59/56 = 62/56 = 31/28;

(a; b) = (-1; 31/28), (31/28; - 1).

Ответ: (-1; 31/28), (31/28; - 1).