Найти угол между касательной к кривой y=x+∛x в точке x₀=1 и нормалью к кривой y=1+√x/1-√x в точке х=4

Найдем производную первой функции:

y' = (x + x^ (1/3)) ' = 1 + 1/3 * x^ (-2/3).

Ее значение в точке x0 = 1 составит:

y' = 1 + 1/3 * 1^ (-2/3) = 4/3.

Тогда угол a между касательной и осью oX: arctg (4/3).

Производна второй функции:

y' = ((1 + √x)) / (1 - √x) = (1/2√x * (1 - √x)) - (1 + √x) * (-1/2√x)) / (1 - √x) ^2

y' (4) = (-1 + 3) / (-1) ^2 = 2.

Угол b = arctg (2).

А угол нормали равен: π/2 - arctg (2).

Искомый угол между прямыми будет равен:

π - arctg (4/3) - π/2 + arctg (2) = π/2 + arctg (2) - arctg (4/3).