Х^у^-6 ху=-5 3 х+3 у=10 решить систему уравнений

1. Преобразуем систему:

{x^2 у^2 - 6 ху = - 5;

{3 х + 3 у = 10; { (xу) ^2 - 6 ху + 5 = 0;

{3 (х + у) = 10.

2. Решим квадратное уравнение относительно u = xy:

u^2 - 6u + 5 = 0; D/4 = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4; u = 3 ± √4 = 3 ± 2; 1) u = 3 - 2 = 1; 2) u = 3 + 2 = 5.

3. Возвращаемся к системе:

{xy = u;

{х + у = 10/3.

По теореме Виета, x и y являются корнями уравнения:

t^2 - 10/3 * t + u = 0;

1) u = 1;

t^2 - 10/3 * t + 1 = 0; 3t^2 - 10t + 3 = 0; D/4 = 5^2 - 9 = 16 = 4^2; t = (5 ± 4) / 3; t1 = 1/3; t2 = 3.

2) u = 5;

t^2 - 10/3 * t + 5 = 0; 3t^2 - 10t + 15 = 0; D/4 = 5^2 - 45 < 0 - нет решения.

Ответ: (1/3; 3), (3; 1/3).