Найдите сумму всех натуральных n, таких, что n≤300 и НОК (32; n) = 32*n.

1. Наибольшее общее кратное двух чисел равно их произведению, если они взаимно простые. Поскольку число 32 содержит единственный простой множитель - двойку, то число n должно быть нечетным.

2. Среди натуральных же чисел от 1 до 300 первое нечетное число - единица, последнее нечетное число - 299, а их количество - 150. Сумма этих чисел равна:

150 * (1 + 299) : 2 = 150 * 300 : 2 = 150^2 = 22500.

Ответ. Сумма чисел равна 22500.

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел

Наименьшее общее кратное (НОК) для двух натуральных чисел равно их произведению в том случае, когда эти числа взаимно простые. Поскольку число 32 равно 2 в пятой степени, т. е. имеет единственный простой множитель 2, то числа 32 и n будут взаимно простыми при нечетных значений n. Заметим, что для единицы также выполняется условие (1):

НОК (32; n) = 32 * n; (1)

НОК (32; 1) = 32 * 1 = 32.

Следовательно, можем утверждать, что данному условию удовлетворяют все нечетные числа в диапазоне от 1 до 299.

Сумма первых N членов арифметической прогрессии

Последовательность нечетных чисел от 1 до 299 составляет арифметическую прогрессию, разность которой равна:

d = 2,

первый и последний члены равны:

a (1) = 1;

a (N) = 299,

а количество всех членов этой прогрессии равно, очевидно, ровно половине количеству всех натуральных чисел от 1 до 300:

N = 1/2 * 300 = 150.

С помощью формулы для суммы N первых членов арифметической прогрессии вычислим сумму этих чисел:

S (N) = 1/2 * N * (a (1) + a (N)); S (150) = 1/2 * 150 * (1 + 299); S (150) = 1/2 * 150 * 300; S (150) = 150 * 150 = 22500. (2) Замечание

Из уравнения (2) следует, что сумма первых 150 нечетных чисел равна 150 в квадрате. Это совпадение не случайное, оно верно для любого натурального значения N:

S (N) = N².

Например:

S (1) = 1 = 1²;

S (2) = 1 + 3 = 4 = 2²;

S (3) = 1 + 3 + 5 = 9 = 3², и т. д.

Ответ: 22500.