Из металлического шара радиусом 6 см высечен цилиндр наибольшего объема. найдите радиус основания этого цилиндра

1. Пусть:

R = 6 см - радиус шара;

r - радиус основания цилиндра;

h - высота цилиндра;

V - объем цилиндра.

2. Диагональ цилиндра совпадает с диаметром шара. С другой стороны, она, вместе с диаметром основания и высотой

цилиндра, образует прямоугольный треугольник. Следовательно:

(2R) ^2 = h^2 + (2r) ^2;

4R^2 = h^2 + 4r^2;

r^2 = R^2 - h^2/4.

3. Объем цилиндра:

V = πr^2h = π (R^2 - h^2/4) h = π (R^2h - h^3/4);

V' (h) = π (R^2 - 3h^2/4) = 0;

R^2 - 3h^2/4 = 0;

h^2 = 4R^2/3;

r^2 = R^2 - 1/4 * 4R^2/3 = 2R^2/3;

r = R√ (2/3).

Ответ: r = R√ (2/3).