Даны точки A (2,1,4), B (0,0,2), C (1,-1,6), D (2,-1,2). Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точкуD паралелльно плоскости ABC

1. Составим уравнение плоскости, проходящей через точки А, B и C.

Смешанное произведение векторов АВ, ВС и АС в координатной форме:

х-ха у-уа z-za

xb-xa yb-ya zb-za = 0

xc-xa yc-ya zc-za

х-2 у-1 z-4

0-2 0-1 2-4 = 0

1-2 - 1-1 2-4

х-2 у-1 z-4

-2 - 1 - 2 = 0

-1 - 2 - 2

2 (x - 2) + 2 (y - 1) + 4 (z - 4) - (z - 4) - 4 (y - 1) - 4 (x - 2) = 0

2x - 4 + 2y - 2 + 4z - 16 - z + 4 - 4y + 4 - 4x + 8 = 0

-2x - 2y + 3z - 6 = 0 - уравнение плоскости АВС

2. Нормальный вектор плоскости АВС имеет координаты (-2; - 2; 3)

3. Плоскость, параллельная плоскости АВС, имеет такой же вектор нормали и проходит через точку D (2; - 1; 2). Запишем уравнение искомой плоскости:

-2 (х - 2) - 2 (у + 1) + 3 (z - 2) = 0

-2x + 4 - 2y - 2 + 3z - 6 = 0

-2x - 2y + 3z - 4 = 0

Ответ: - 2x - 2y + 3z - 4 = 0