1. (3) Найти расстояние от точки М0 (0; 1) до прямой, проходящей через точку М1 (3; 2) под углом П/4 к оси Ох. 2. (3) Найти тангенс угла между прямой х + 4 у + 1 = 0 и прямой, проходящей через точку M0 (1; -2) и перпендикулярно вектору n (-5; 2).

1.

1) Уравнение прямой, проходящей через точку М1 (3; 2) под углом π/4:

y = y1 + k (x - x1); y = 2 + x - 3 = x - 1.

2) Расстояние от этой прямой до точки М0 (0; 1):

S^2 = (x - x0) ^2 + (y - y0) ^2 = (x - 0) ^2 + (x - 1 - 1) ^2 = x^2 + (x - 2) ^2 = 2x^2 - 4x + 4 = 2 (x - 1) ^2 + 2; H = Smin = √2.

2.

1) Прямая, перпендикулярная вектору n (-5; 2) имеет направляющий вектор (2; 5), а угловой коэффициент равен:

k1 = 5/2.

2) Угловой коэффициент прямой х + 4 у + 1 = 0:

4 у = - x - 1; y = - 1/4 * x - 1/4; k2 = - 1/4.

3) Пусть:

tgφ1 = k1; tgφ2 = k2; φ = φ1 - φ2; tgφ = tg (φ1 - φ2) = (tgφ1 - tgφ2) / (1 + tgφ1 * tgφ2) = (k1 - k2) / (1 + k1 * k2); tgφ = (k1 - k2) / (1 + k1 * k2) = (5/2 + 1/4) / (1 - 5/2 * 1/4) = (20 + 2) / (8 - 5) = 22/3; φ = arctg (22/3).

Ответ: 1) √2; 2) arctg (22/3).