5 (x+y) + 4xy=32 xy (x+y) = 12 Решить методом замены переменных

5 (x + y) + 4xy = 32; xy (x + y) = 12.

Пусть х + у = а, ху = в.

Получается система уравнений: 5 а + 4 в = 32; ав = 12.

Выразим в из второго уравнения и подставим во второе:

в = 12/а; 5 а + 4 * 12/а = 32.

5 а + 48/а = 32. Умножаем все уравнение на а (а не равно 0).

5 а² + 48 = 32 а.

5 а² - 32 а + 48 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-32) ² - 4 * 4 * 48 = 1024 - 960 = 64 (√D = 8);

а₁ = (32 - 8) / (2 * 5) = 24/10 = 2,4.

а₂ = (32 + 8) / 10 = 40/10 = 4.

Отсюда в₁ = 12/2,4 = 5.

И в₂ = 12/4 = 3.

Вернемся к замене, получаются две системы уравнений:

(а) х + у = 2.4, ху = 5.

(б) х + у = 4, ху = 3.

Решаем каждую систему отдельно.

а) х + у = 2,4, ху = 5.

Выразим у из первого уравнения и подставим во второе:

у = 2,4 - х; х (2,4 - х) = 5.

2,4 х - х² = 5.

х² - 2,4 х + 5 = 0.

D = 2,4² - 4 * 1 * 5 = 5,76 - 20 = - 14,24 (D < 0, нет корней).

б) х + у = 4, ху = 3.

Выразим у из первого уравнения и подставим во второе:

у = 4 - х; х (4 - х) = 3.

4 х - х² = 3.

х² - 4 х + 3 = 0.

D = (-4) ² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4 (√D = 2);

х₁ = (4 - 2) / 2 = 2/2 = 1.

х₂ = (4 + 2) / 2 = 6/2 = 3.

Отсюда у₁ = 4 - 1 = 3.

И у₂ = 4 - 3 = 1.

Ответ: (1; 3) и (3; 1).