Найти неопределённый интеграл способом замены (методом замены переменой) ∫ cos x/^3√sin x

Рассмотрим неопределенный интеграл ∫cos³x * √ (sinx) dx, которого обозначим через А. Введём новую переменную t = sinx. Тогда, имеем: dt = d (sinx) = cosxdx. Используя формулу sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество), которую перепишем в виде cos²α = 1 - sin²α, получим: cos³x * √ (sinx) dx = cos²x * √ (sinx) * cosxdx = (1 - sin²х) * √ (sinx) * cosxdx = (1 - t²) * √ (t) dt = (t^½ - t^{2 + ½}) dt = (t^½ - t^5/2) dt. Таким образом, А = ∫ (t^½ - t^5/2) dt = ∫ (t^½) dt - ∫ (t^5/2) dt. Применим к обоим последним интегралам формулу ∫x^αdx = x^{α + 1} / (α + 1), где α ≠ - 1. Тогда А = t^{½ + 1} / (½ + 1) - t⁵^{/2 + 1} / (5/2 + 1) + С = (2/3) * t^3/2 - (2/7) * t⁷^/2 + С = (2/21) * t * √ (t) * (7 - 3 * t²) + С. Сделаем обратную замену. Тогда, имеем: А = (2/21) * sinx * √ (sinx) * (7 - 3 * sin²x) + С.

Ответ: (2/21) * sinx * √ (sinx) * (7 - 3 * sin²x) + С.