Sinx+sin3x=sin2x+sin4x

Решим уравнение sin x + sin (3 * x) = sin (2 * x) + sin (4 * x)

sin x + sin (3 * x) = sin (2 * x) + sin (4 * x);

2 * sin ((x + 3 * x) / 2) * cos ((x - 3 * x) / 2) = 2 * sin ((2 * x + 4 * x) / 2) * cos ((2 * x - 4 * x) / 2);

Сначала в порядке очереди находим значение выражения в скобках, затем вычисляем умножение или деление, только потом находим выражения суммы или разности. То есть получаем:

2 * sin (4 * x/2) * cos ( - 2 * x/2) = 2 * sin (6 * x/2) * cos ( - 2 * x/2);

2 * sin (2 * x) * cos ( - x) = 2 * sin (3 * x) * cos ( - x);

2 * sin (2 * x) * cos x = 2 * sin (3 * x) * cos x;

Перенесем все значения выражения на одну сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

2 * sin (2 * x) * cos x - 2 * sin (3 * x) * cos x = 0;

Вынесем за скобки общий множитель и тогда получим:

2 * cos x * (sin (2 * x) - sin (3 * x)) = 0;

2 * cos x * (2 * cos ((2 * x + 3 * x) / 2) * sin ((2 * x - 3 * x) / 2)) = 0;

2 * cos x * (2 * cos (5 * x/2) * sin ( - x/2)) = 0;

Сначала раскрываем скобки. Если перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. Если же перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем:

- 2 * cos x * 2 * cos (5 * x/2) * sin (x/2) = 0;

- 4 * cos x * cos (5 * x/2) * sin (x/2) = 0;

Cos x * cos (5 * x/2) * sin (x/2) = 0;

Найдем корни уравнений cos x = 0, cos (5 * x/2) = 0, sin (x/2) = 0

1) cos x = 0;

X = pi/2 + pi * n, где n принадлежит Z;

2) cos (5 * x/2) = 0;

5 * x/2 = pi/2 + pi * n, где n принадлежит Z;

Умножим значения выражения крест на крест и тогда получим:

5 * x = 2 * (pi/2 + pi * n), где n принадлежит Z;

Раскрываем скобки. Для этого значение перед скобками, умножаем на каждое значение в скобках, и складываем их в соответствии с их знаками. Тогда получаем:

5 * x = 2 * pi/2 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

5 * x = pi + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

X = pi/5 + 2 * pi/5 * n, где n принадлежит Z;

3) sin (x/2) = 0;

x/2 = pi * n, где n принадлежит Z;

x = 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

Отсюда получаем, что уравнение sin x + sin (3 * x) = sin (2 * x) + sin (4 * x) имеет корни:

х = pi/2 + pi * n, где n принадлежит Z; х = pi/5 + 2 * pi/5 * n, где n принадлежит Z; x = 2 * pi * n, где n принадлежит Z.

Sinx + sin3x = sin2x + sin4x.

2 * sin ((3 * x + x) / 2) * cos ((3 * x - x) / 2) = 2 * sin ((4 * x + 2 * x) / 2) * cos ((4 * x - 2 * x) / 2).

sin2x * cosx = sin3x * cosx.

Cosx * (sin2x - sin3x) = 0.

1) cosx = 0.

X = π/2 + π * n, n принадлежит Z.

sin2x - sin3x = 0.

2 * sin ((2 * x - 3 * x) / 2) * cos ((2 * x + 3 * x) / 2) = 0.

Sin (-x/2) * cos (5 * x/2) = 0.

- Sin (x/2) * cos (5 * x/2) = 0.

Sinx/2 = 0, либо cos (5 * x/2) = 0.

2) x/2 = 0 + π * n = π * n, x = 2 * π * n, n принадлежит Z.

3) 5 * x/2 = π/2 + π * n, x = π/5 + 2 * π * n/5, n принадлежит Z.

Ответ: X = π/2 + π * n; x = 2 * π * n; x = π/5 + 2 * π * n/5, n принадлежит Z.