Решите систему: х^2/y+y^2/x=18 x+y=12

Система уравнений:

х² / y + y² / x = 18;

x + y = 12.

1. Во втором уравнении системы выразим x через y:

x = 12 - y.

Полученное выражение подставим в первое уравнение системы и решим уравнение с одной переменной:

(12 - y) ² / y + y² / (12 - y) = 18 (раскроем скобки);

(144 - 24 * y + y²) / y + y² / (12 - y) = 18 (приведем левую часть уравнения к общему знаменателю y * (12 - y), домножив первую дробь на (12 - y), а вторую - на y);

((144 - 24 * y + y²) * (12 - y) + y² * y) / (y * (12 - y)) = 18 (раскроем скобки);

(1728 - 144 * y - 288 * y + 24 * y² + 12 * y² - y³ + y³) / (y * (12 - y)) = 18 (приведем подобные слагаемые в числителе);

36 * y² - 432 * y + 1728 = 18 * y * (12 - y) (по пропорции; разделим обе части уравнения на 18);

2 * y² - 24 * y + 96 = 12 * y - y²;

2 * y² + y² - 24 * y - 12 * y + 96 = 0;

3 * y² - 36 * y + 96 = 0 (разделим обе части уравнения на 3);

y² - 12 * y + 32 = 0.

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

D = b² - 4 * a * c = ( - 12) ² - 4 * 1 * 32 = 144 - 128 = 16.

y = ( - b + / - √ D) / 2 * a.

y₁ = ( - ( - 12) + √ 16) / 2 * 1 = (12 + 4) / 2 = 16/2 = 8.

y₂ = ( - ( - 12) - √ 16) / 2 * 1 = (12 - 4) / 2 = 8/2 = 4.

Найдем значения x:

x₁ = 12 - y₁ = 12 - 8 = 4;

x₂ = 12 - y₂ = 12 - 4 = 8.

Ответ: (4; 8) и (8; 4).