Как объяснить написание буквы е в слове пришел? Она как-то проверяется, или нужно просто запомнить?

Буква "ё" в слове "пришёл" проверяется по правилу.

Чтобы узнать, какая буква пишется в корне слова после шипящих под ударением, нужно изменить слово или подобрать к нему однокоренное. Если в результате подбора или изменения слова "ё" будет чередоваться с "е", то в корне пишется "ё".

пришёл - пришедший

Буква "ё" чередуется с "е", значит, в слове "пришёл" пишется "ё", а не "о".

Проверочное слово - шедший