Во сколько раз необходимо увеличить начальную скорость тела, брошенного вертикально вверх с поверхности земли, чтобы максимальная высота его полёта возросла в 4 раза?

Координаты тела движущегося с ускорением вдоль оси x задаются уравнением

x = x₀ + vt + at²/2.

Направим ось x вверх. Начало координат в точке броска, то есть x₀ = 0. Ускорение g направлено к началу координат, а начальная скорость равна v₁:

x = v₁t - gt²/2 (1).

Найдем скорость как производную по t от x:

x' = v₁ - 2gt/2 = v₁ - gt.

Высота x будет максимальной в момент t₁, при x' = 0:

0 = v₁ - gt₁;

v₁ = gt;

t₁ = v₁/g (2).

Подставляем (2) в (1):

x₁ = (v₁ * v₁) / g - g * (v₁²/g²) / 2 = v₁²/2g.

v₁² = 2x₁g.

При некоторой скорости v₂ высота подъема должна быть в 4 раза больше:

4x₁ = v₂²/2g;

v₂² = 8x₁g;

v₂²/v₁² = (8x₁g) / (2x₁g) = 4.

v₂/v₁ = 2.

v₂ = 2v₁.

Ответ. Скорость должна возрасти в 2 раза.