Длина меньшего катета прямоугольного треугольника равна 6 см. Найдите длины второго катета и гипотенузы, если известно, что длина большего катета равна среднему арифметическому длин меньшего катета и гипотенузы.

Обозначим через x длину гипотенузы катета данного треугольника, один из углов которого составляет 90°.

В исходных данных к данному заданию сообщается, что если сложить длины меньшего катета и гипотенузы и разделить полученный результат на 2, то в результате получится длина большего катета, следовательно, длина большего катета составляет (х + 6) / 2.

Теперь, используя теорему Пифагора, находим составляем такое уравнение:

6² + ((х + 6) / 2) ² = x².

Решаем это уравнение:

36 + (х + 6) ²/4 = x²;

144 + (х + 6) ² = 4x²;

144 + x² + 12 х + 36 = 4x²;

x² + 12 х + 180 = 4x²;

4x² - x² - 12 х = 180 = 0;

3x² - 12 х - 180 = 0;

x² - 4 х - 60 = 0;

х = 2 ± √ (4 + 60) = 2 ± √64 = 2 ± 8;

х = 2 + 8 = 10.

Найдем длину 2-го катета:

(х + 6) / 2 = (10 + 6) / 2 = 16/2 = 8 см.

Ответ: 8 см.