Докажите, что если две высоты треугольника равны между собой, то этот треугольник равнобедренный.

Решение.

Пусть дан треугольник ABC в котором проведены две высоты АР и СК, причём АР = СК. Рассмотрим прямоугольные треугольники АРС и СКА (у них ∠АРС = 90° и ∠СКА = 90°).

В данных треугольниках:

1) вершина В - общая, значит, ∠ВАР = ∠ВСК = 90° - ∠В;

2) АР = СК - по условию.

Получается, что ∆ АРС = ∆ СКА по 2-му признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и противолежащему острому углу), тогда их гипотенузы тоже будут равны АВ = ВС. А это стороны ∆ ABC, значит, он равнобедренный.

Отсюда можно сделать вывод, что если две высоты треугольника равны между собой, то этот треугольник равнобедренный.

Что и требовалось доказать.