Площадь осевого сечения равностороннего конуса равна Q. Найдите объем конуса.

Образующая равностороннего конуса равна диаметру d или удвоенному радиусу 2R основания.

В осевом сечении равностороннего конуса - равносторонний треугольник со стороной 2R.

Выделим прямоугольный треугольник, образованный высотой H, катетом, который равен радиусу R и образующей длиной 2R. Найдем высоту треугольника (и одновременно конуса).:

H = √ (2R^2 - R^2) = R√3.

Площадь треугольника в сечении конуса:

S = (2R * H) / 2 = RH = R * R√3 = R^2 * √3.

По условию S = Q:

R^2 * √3 = Q;

R = √ (Q/√3) = √Q/3^ (1/4).

Объем конуса:

V = (ПR^2 * H) / 3 = (ПR^2 * R√3) / 3 =

= (П * (Q/√3) * (√Q / (3^ (1,4)) * √3) / 3 =

= (П * Q√Q * √3) / (3 * √3 * 3^ (1/4)) =

= (ПQ√Q) / (3 * 3^ (1/4)) = (ПQ√Q) / (3^ (1,25)) = 0,2533 * ПQ√Q.

Ответ: V = (ПQ√Q) / (3^ (1,25)) = 0,2533 * ПQ√Q.