1) В треугольнике OAB угол O равен 30 градусам. Угол A равен 85 градусам. AK-, биссектриса угла A. Найдите углы OKA, AKB и OBA.

Даны: △OAB, ∠O = 30°, ∠A = 85°, AK - биссектриса угла А.

Найти: ∠OKA, ∠AKB, ∠OBA.

За теоремой о сумме углов треугольника, в △OAB:

∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°.

Отсюда:

∠OBA = 180° - (∠AOB + ∠OAB) = 180° - (30° + 85°) = 65°.

Биссектриса - это луч, который делит вершину на 2 равных угла. Имеем:

∠OAK = ∠OAB/2 = 85°/2 = 42,5°.

∠BAK = ∠OAK = 42,5°.

За теоремой о сумме углов треугольника, в △OAK:

∠OAK + ∠AOK + ∠OKA = 180°.

Отсюда:

∠OKA = 180° - (∠OAK + ∠AOK) = 180° - (42,5° + 30°) = 107,5°.

За теоремой о сумме углов треугольника, в △BAK:

∠ABK + ∠BAK + ∠AKB = 180°.

∠ABK = ∠OBA = 65°.

Отсюда:

∠AKB = 180° - (∠ABK + ∠BAK) = 180° - (65° + 42,5°) = 72,5°.

Ответ: ∠OKA = 107,5°; ∠AKB = 72,5°; ∠OBA = 65°.