Разность длин описанной и вписанной окружностей правильного треугольника равна 2 sqrt (3) Пи см. Найдите площадь треугольника.

Обозначим через а длину стороны данного правильного треугольника.

Тогда площадь этого треугольника должна быть равной а^2 * sin (60°) / 2 = a^2 * √3/4 см^2.

Применяя формулы площади треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей, выражаем радиусы вписанной и описанной окружностей данного треугольника через а:

r = a^2 * √3/4 / (3a/2) = a^2 * √3/4 * 2/3a = a√3/6;

R = a^3 / (4 * a^2 * √3/4) = a^3 / (a^2 * √3) = a/√3 = a√3/3.

Согласно условию задачи, разность длин описанной и вписанной окружностей данного треугольника равна 2√3, следовательно, можем составить следующее уравнение:

a√3/3 - a√3/6 = 2√3,

решая которое, получаем:

6 * (a√3/3 - a√3/6) = 6 * 2√3;

2 а√3 - а√3 = 12√3;

а√3 = 12√3;

а = 12√3/√3 = 12 см.

Находим площадь треугольника:

a^2 * √3/4 = 12^2 * √3/4 = 144 * √3/4 = 36√3 см^2.

Ответ: 36√3 см^2.