Найдите отношение катетов прямоугольного треугольника, если известно, что точка касания вписанной окружности делит гипотенузу в отношении 2:3.

Обозначим данный по условию прямоугольный треугольник АВС, угол С - прямой, АВ - гипотенуза.

Окружность вписана в треугольник, её центр - точка пересечения биссектрис.

Расстояние от вершины угла до точки касания окружности и стороны треугольника равны.

Запишем стороны треугольника:

Гипотенуза АВ = 2 + 3 = 5.

Катет ВС = 2 + х.

Катет АС = 3 + х.

Записываем теорему Пифагора:

АВ² = AC² + BC²

25 = (3 + х) ² + (2 + х) ²

2x² + 10x - 12 = 0

x² + 5x - 6 = 0

x₁ = - 6, x₂ = 1.

-6 - посторонний корень.

ВС = 2 + 1 = 3;

АС = 3 + 1 = 4.

Находим отношение катетов:

ВС/АС = 3/4.

Ответ: 3/4.