докажите что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в полтора раза больше квадрата гипотенузы.

Пусть дан треугольник АВС, АВ = с - гипотенуза, ВС = а и АС = в - катеты, м1; м2; м3 - медианы. Докажем, что м1^2 + м2^2 + м3^2 = 1,5 * c^2.

Для доказательства используем прямоугольные треугольники СВМ2; АСМ1; и АВС, где М1; М2; М3 - середины ВС; АС; АВ,

1) Из треугольника АСМ1: в^2/4 + а^2 = м2^2;

2) Из треугольника ВСМ2: в^2 + а^2/4 = м1^2;

3) м3 = с/2; м3^2 = с^2/4; сложим 1) + 2) + 3), получим:

4) в^2/4 + а^2 + в^2 + а^2/4 + с^2/4 = м2^2 + м1^2 + м3^2;

5) 5/4 * (в^2 + а^2) + с^2/4 = м2^2 + м1^2 + м3^2; 6/4 * с^2 = 1,5 * c^2 = м2^2 + м1^2 + м3^2.