Основанием пирамиды служит ромб со стороной 6 см и острым углом 30. все двугранные углы при основании равны. боковая поверхность пирамиды равна 36. найти величину двухгранного угла при основани

Если все двугранные углы при основании пирамиды равны, то равны также высоты боковых граней. Из равенства сторон основания ромба и высот боковых граней следует равенство площадей боковых граней. Значит, площадь одной боковой грани, равная половине произведения стороны основания на высоту боковой грани, равна 36 / 4 = 9 см2. Отсюда:

Sгр = 0,5 * hгр * a;

hгр = 2 * Sгр / a = 2 * 9 / 6 = 3 см - высота боковой грани.

Площадь основания-ромба можно определить как произведение квадрата стороны на синус угла между ними: Sосн = а2 * sin α = 62 * sin 30 = 36 * 0,5 = 18 см2.

С другой стороны, площадь ромба равна произведению его высоты на сторону: S = hp * a. Отсюда, высота основания-ромба hp = S / a = 18 / 6 = 3 см.

Двугранный угол при основании - это угол между высотой боковой грани и ее проекцией на основание, которая является радиусом вписанной окружности.

Известно, что радиус вписанной в ромб окружности равен половине высоты ромба, значит

r = hp / 2 = 3 / 2 = 1,5 см.

Косинус искомого двугранного угла равен отношению длин проекции высоты боковой грани и этой высоты: cos β = r / hгр = 1,5 / 3 = 0,5.

Двугранный угол при основании пирамиды равен: β = arccos 0,5 = 60°.