В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Все боковые ребра пирамиды равны. Основание высоты пирамиды удалено от катетов этого треугольника на 3 и 4 см. Высота пирамиды равна 10 см. Вычислить объем пирамиды

Обозначим треугольник в основании АВС, угол А - прямой, а - боковые ребра, S - вершина пирамиды, SO - высота пирамиды.

Точки K и L лежат на АВ и АС соответственно.

Перпендикуляры KO = 3 см, OL = 4 см.

AKOL - прямоугольник со сторонами OL = AK = 4 см, KO = AL = 3 см.

Так как боковые ребра равны, то SK и SL - высоты равнобедренных треугольников BSA и ASC соответственно.

Треугольники BOA и АОС это проекции треугольников BSA и ASC соответственно.

Значит, OK и OL это проекции высот SK и SL.

А значит,

АВ = 2 * АK = 8 см.

AC = 2 * AL = 6 см.

Объем пирамиды равен:

V = 1/3 * Sabc * SO = 1/3 * ½ * AB * AC * SO = 1/3 * ½ * 8 * 6 * 10 = 4 * 2 * 10 = 80 см^3.