Все грани параллелепипеда - равные ромбы, диагонали которых равны 6 см и 8 см. Найдите объем параллелепипеда.

Вершины параллелепипеда АВСDD1FА1 В1 С1.

V = S • H, где Ѕ - площадь грани, лежащей в основании, Н - высота, т. е. расстояние между параллельными (горизонтальными) гранями.

Ѕ (ромба) = d • d 1/2 = BD • AC/2 = 6 • 8/2 = 24 см²

Из соотношения катетов 3 : 4, эти треугольники - так называемые египетские, ⇒ гипотенузы этих треугольников - стороны ромба - равны 5 см.

По условию все грани параллелепипеда - равные ромбы, ⇒ боковое ребро составляет с соседними сторонами основания равные углы. ∠А1 АК = ∠А1 АМ. Площади равных граней равны, а их высоты - равные перпендикуляры.⇒ А1 К = А1 М.

Из формулы площади параллелограмма h = S:a = 24/5 см. По т. Пифагора АК = √ (AA1² - A1 К²) = √ (5² - (24/5) ²) = 7/5 см.

Треугольники АКА1 и АМА1 равны по катетам и общей гипотенузе АА1 Проекции равных наклонных А1 К и А1 М равны. ⇒ НК=НМ. Отсюда прямоугольные ∆ АКН=∆ АМН, их острые углы равны. Поэтому основание высоты А1 Н параллелепипеда лежит на биссектрисе угла ВАD, т. е. на диагонали ромба. Прямоугольные ∆ АКН ~∆ АВО по общему острому углу при А.

Из подобия следует отношение

АН: АВ = АК: АО ⇒ АН: 5 = (7/5) : 4 ⇒ АН = 7/4.

т. Пифагора А1 Н = (√ (AA1² - АН*) = √ ((400 - 49) : 4)) = √ (9 • 39/16). АН = 0,75√39.

V (параллелеп) = 24 • 0,75√39 = 18√39 или ≈ 112,41 см³

Ответ: 112,41 см³