Высота правильной треугольной пирамиды равна 2, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

( / - это дробная черточка)

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOK, в нём угол SKO=45 градусов, значит угол OSK = 90 градусов-угол SKO = 90 градусов - 45 градусов = 45 градусов, следовательно, треугольник SOK - равнобедренный прямоугольный треугольник: SO=OK=h

OK - радиус вписанной окружности основания. Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный треугольник

r = OK = AC/2 корень квадратный из 3 = АС = 2r корень квадратный из 3 = 2h корень квадратный из 3

Площадь основания: AC^2 корень квадратный из 3/4 = (2hкорень квадратный из 3) ^2 * корень квадратный из 3/4 = 3h^2 корень квадратный из 3 кв. ед.

SK = корень квадратный из SO^2+OK^2 = корень квадратный из h^2+h^2 = h корень квадратный из 2 - апофема.

Площадь боковой поверхности:S{bok} = 1/2 * P (осн) * SK = 1/2 * 3 * 2h корень квадратный из 3 * h корень квадратый из 2 = 3h^2 корень квадратный из 6 кв. ед.

Площадь полной поверхности: S = S (осн) + S (bok) = 3h^2 корень квадратный из 3 + 3h^2 корень квадратный из 6 = 3h^2 корень квадратный из 3 (1 + корень квадратный из 2) кв. ед.

Ответ: 3h^2 корень квадратный из 3 (1 + корень квадратный из 2) кв. ед.