Найдите площадь боковой и полной поверхности правильной призмы с основанием ABC, если диагональ ее боковой грани, равная 18 см, составляет с плоскостью основания угол в 60 градусов.

Из прямоугольного треугольника, образованного стороной основания призмы, ее боковым ребром и диагональю боковой грани, можем записать:

cos 60° = a / d;

sin 60° = h / d.

Отсюда:

a = d * cos 60° = 18 * 0,5 = 9 см - сторона основания;

h = d * sin 60° = 18 * √3 / 2 = 9√3 см - боковое ребро.

Боковые грани правильной треугольной призмы представляют собой равные прямоугольники, одна из их сторон равна стороне основания, вторая - боковому ребру. Площадь каждого из таких прямоугольников равна:

S_гр = a * h = 9 * 9√3 = 81√3 см².

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей трех боковых граней:

S_бок = 3 * S_гр = 3 * 81√3 = 243√3 ≈ 420,89 см².

Основания правильной треугольной призмы - правильные треугольники, площадь каждого из которых можно определить по формуле:

S_осн = 0,5 * а² * sin 60° = 0,5 * 9² * √3 / 2 = 81√3 / 4 см².

Площадь полной поверхности равна сумме площадей боковой поверхности и двух оснований:

S_полн = S_бок + 2 * S_осн = 243√3 + 2 * 81√3 / 4 = √3 * (243 + 40,5) = √3 * 283,5 ≈ 491,04 см².