Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите диагональ призмы, площадь боковой поверхности призмы, угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани.

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁, тогда AB = BC = CD = AD = A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁ = A₁D₁ = a и AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁.

1. Найдем диагональ основания из прямоугольного △ACD по теореме Пифагора:

AC = √ (AD² + CD²) = √ (a² + a²) = √ (2 * a²) = a√2.

Рассмотрим △C₁CA:

∠AC₁C = 180° - ∠C₁CA - ∠C₁AC (по теореме о сумме углов треугольника);

∠AC₁C = 180° - 45° - 90° = 45° ⇒ △C₁CA равнобедренный: AC = C₁C = a√2.

По теореме Пифагора:

AC₁ = √ (AC² + C₁C²) = √ ((a√2) ² + (a√2) ²) = √ (2 * a² + 2 * a²) = √ (4 * a²) = 2 * a.

1. Все боковые грани призмы являются равными прямоугольниками. Найдем площадь AA₁D₁D:

S = AD * A₁A = a * a√2 = a²√2.

Площадь боковой поверхности равна:

Sбок. = 4 * S = 4 * a²√2.

1. Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В △ADC₁:

sin∠AC₁D = AD/AC₁ = a/2 * a = 1/2.

1/2 является синусом угла, равного 30° ⇒ ∠AC₁D = 30°.

Ответ: 1) AC₁ = 2 * a; 2) Sбок. = 4 * a²√2; 3) ∠AC₁D = 30°.