На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и P так, что MP и AC параллельны, AC-MP=2, BP/PC=3/2. Найдите длину MP.

Треугольники АВС и МВР подобны, так как все углы равны (угол В это общий угол, угол М = А и угол Р = С, что следует из параллельности прямых МР и АС).

Тогда, используем свойства подобия треугольников:

ВС/ВР = АС/МР = k.

Сторона ВС = ВР + РС и BP/PC=3/2 по условию.

Тогда BP = 3/2 * РС, значит ВС = ВР + РС = 3/2 * РС + РС = 5/2 * РС.

Следовательно,

ВС/ВР = (5/2 * РС) / (3/2 * РС) = 5/3.

Тогда,

АС/МР = 5/3.

По условию AC - MP = 2.

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

АС = МР + 2;

АС/МР = (МР + 2) / МР = 5/3.

Следовательно,

3 * (МР + 2) = 5 * МР;

3 * МР + 6 = 5 * МР;

2 * МР = 6;

МР = 3.