Высота, опущенная из вершины тупого угла параллелограмма, равного 135 градусов, равна 4 см, и делит сторону, на которую она опущена, на две равные части. Найти периметр и площадь параллелограмма

ABCD - параллелограмм: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D = 135°, AB = CD, AD = BC - стороны, BH = 4 см - высота опущенная к стороне AD.

1. Обозначим ∠A и ∠C как x. По теореме о сумме углов четырехугольника:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°;

x + 135° + x + 135° = 360°;

2 * x = 360° - 270°;

2 * x = 90°;

x = 90°/2;

x = 45°.

Тогда, ∠A = ∠C = x = 45°.

2. В △AHB: ∠AHB = 90°, ∠HAB (он же ∠A) = 45°.

По теореме о сумме углов треугольника:

∠AHB + ∠HAB + ∠ABH = 180°;

90° + 45° + ∠ABH = 180°;

∠ABH = 180° - 135°;

∠ABH = 45°.

Так как в ∠HAB = ∠ABH = 45°, то △AHB равнобедренный, а ∠HAB и ∠ABH - углы при основании AB равнобедренного треугольника. Тогда HA = HB = 4 см - боковые стороны.

3. По теореме Пифагора:

AB = √ (HA² + HB²) = √ (4² + 4²) = √ (2 * 16) = 4 √ 2 (см).

Тогда, AB = CD = 4 √ 2 см.

4. Точка H делит основание AD пополам, тогда:

AD = 2 * HA = 2 * 4 = 8 (см).

AD = BC = 8 см.

5. Периметр ABCD равен:

P = AB + BC + CD + AD;

P = 4 √ 2 + 8 + 4 √ 2 + 8 = 16 + 8 √ 2 (см)

6. Площадь параллелограмма равна:

S = a * h,

где a - сторона параллелограмма, h - высота, опущенная на сторону a.

Площадь ABCD равна:

S = AD * BH = 8 * 4 = 32 (см²).

Ответ: P = 16 + 8 √ 2 см, S = 32 см².