В треугольнике KLM длина стороны KL равна 27, длина биссектрисы KN равна 24, а длина отрезка MN равна 8. Найдите периметр треугольника KMN

1. Одно из свойств биссектрис: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам, тогда:

NM/LN = KM/KL;

8/LN = KM/27.

2. Длину биссектрисы можно найти по формуле:

l = √ (ab - albl),

где a и b - стороны, прилегающие к биссектрисе, al и bl - отрезки, на которые биссектриса делит сторону с.

Тогда:

KN = √ (KL*KM - LN*NM);

24 = √ (27*KM - LN*8);

27KM - 8LN = 576.

3. Получили систему уравнений с двумя неизвестными:

8/LN = KM/27;

27KM - 8LN = 576.

В первом уравнении выразим KM через LN и полученное выражение подставим во второе уравнение системы:

KM = 8*27 / LN = 216/LN.

27 * 216/LN - 8LN = 576;

Решим полученное уравнение с одной неизвестной:

(5832 - 8LN^2) / LN = 576;

5832 - 8LN^2 = 576LN (по пропорции);

-8LN^2 - 576LN + 5832 = 0;

LN^2 + 72LN - 729 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 72^2 - 4*1 * (-729) = 5184 + 2916 = 8100.

х1 = (-b + √D) / 2a = (-72 + √8100) / 2 = (-72 + 90) / 2 = 18/2 = 9.

x2 = (-b - √D) / 2a = (-72 - √8100) / 2 = (-72 - 90) / 2 = - 162/2 = - 81.

LN = 9, но LN не равно - 81, так как - 81 < 0.

Полученное значение LN = 9 подставим в первое уравнение системы уравнений и найдем значение КМ:

8/LN = KM/27;

8/9 = КМ/27;

КМ = 27*8/9 = 8*3 = 24 (см).

4. Периметр треугольника KMN:

P = KN + NM + KM;

Р = 24 + 8 + 24 = 56 (см).

Ответ: Р = 56 см.