Задан прямоугольный треугольник XYZ, где YZ гипотенуза. Внешний угол при вершине Z равен 120°, сторона XY равна 7 см. Чему равна длина гипотенузы?

Дано: прямоугольный треугольник XYZ, угол Х = 90⁰, YZ - гипотенуза, внешний угол при вершине Z равен 120⁰, ХY = 7 см.

Найти: YZ - ?

Решение: Сумма внешнего и внутреннего угла при одной вершине равна 180⁰, значит угол Z = 180⁰ - 120⁰ = 60⁰.

Сумма углов треугольника равна 180⁰, значит угол Y = 180⁰ - угол X - угол Z = 180⁰ - 90⁰ - 60⁰ = 30⁰.

Пусть длина стороны XZ = х см. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30⁰, равен половине гипотенузы. XZ лежит напротив угла Y = 30⁰, значит гипотенуза YZ = 2*х.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. YZ2 = XY2 + XZ2

Подставим XZ = х, YZ = 2*х и ХY = 7 (по условию задачи).

4 * х2 = х2 + 49

3 * х2 = 49

Х2 = 49/3

Х = 7/корень из 3.

YZ = 2*х = 2*7/корень из 3 = 14 / корень из 3

Ответ: YZ = 14 / корень из 3 (см)