Найдите длину окружности если площадь вписанного в неё правильного треугольника равна 75 корней из 3

Пусть АВС - правильный треугольник (т. е. все его стороны и углы равны).

Площадь такого треугольника находять по формуле S = (а^2 * √3) / 4

Площадь нам известна: S=75√3

Подставим:

75√3 = (а^2 * √3) / 4

75=а^2 / 4

а^2 = 75*4

а^2=300

а=±10√3

-10√3 посторонний корень

Значит, сторона АВС = 10√3

Теперь проведём в треугольника высоту (медиана и биссектриса) ВН

НС = (10√3) / 2 = 5√3

По теореме Пифагора:

ВН = √ ((10√3) ^2 - (5√3) ^2) = √ (100*3-25*3) = √ (300-75) = √225 = 15

точка О - центр окружности. А так же эта точка лежит на ВН.

По правилу высота делится в такой пропорции в правильном треугольнике: ВО/ОН = 2/1

Получается, что 1 часть = 15/3 = 5

Тогда 2 части (ВО) = 5*2=10

а ВО = радиус окружности (R)

Длина окружности находится по формуле: L=2 ПR

L=2 П*10 = 20 П

Ответ: L=20 П